Tests de rangs - Travail d'Etude et de Recherche

Intervalle de confiance

Il est possible de déterminer un intervalle de confiance de niveauipour i:

Théorème :

Soitilaistatistique d'ordre de l'ensemble desivariables aléatoiresi( ivaleur deiordonné croissant);

Soititel qu'il existe univérifiant

i;

Alorsiest un intervalle de confiance de niveauipour i.

Pouriquantile dei, on prend pour intervalle de confiancei.

 

 

b) Approximation normale

Si l'on connaît ou que l'on dispose de la fonction quantile dei, ces intervalles sont faciles à former; mais si ils sont inconnus, on peut avoir recours à la convergence de la loi vers une normale :

Pour retrouvericorrespondant au seuili, il faut disposer de la fonction quantile de la loi de Umn centrée :

iest le quantile d'ordreipour la loi dei(loi centrée symétrique).

On utilise alors la convergence deicentrée réduite vers la loi normale, pour obtenir des quantiles approchés.

i

On obtient donc, asymptotiquement,i, aveciquantile de la loii.


 

 

c) Application : Test utilisant l'estimateur de Hodges-Lehmann

Reprenons l'exemple précèdent sur la hauteur médiane de deux forêts :

Soiti

La statistiqueiest égale ài.

Nous obtenonsi.

On posei:

L'intervalle de confiance au niveauiest i; avec pour quantile de la loi de Mann-Withneyi; soit l'intervallei.

Finalement, l'intervalle de confiance au niveauide l'estimateuriest donc i: iappartient bien à cet intervalle.

 

ii



d) Application : Approximation normale

i

Pour obtenir l'intervalle de confiance à l'aide de l'approximation normale nous avons vu qu'il faut calculer :i; aveciquantile de la loi normale.

Nous avons donci, i; en prenant les parties entières, on obtient comme bornes de l'intervalle de confiance les statistique d'ordreiet i; soit exactement les mêmes bornes que sans approximation.

Nous obtenons donc le même intervalle de confiance au niveauide l'estimateur de i: i.

L'approximation normale offre donc un résultat très satisfaisant.