Tests de rangs - Travail d'Etude et de Recherche

Tests sur deux échantillons indépendants

Les statistiques de rangs trouvent leur application dans le cadre de tests de loi entre deux échantillons; c'est à dire, pour deux échantillonsimget img, de variableimget img, de loiimget imginconnues, le testimgcontre img.

Plus particulièrement, on s'intéressera ici au modèle dit de localisation :

imgde médiane nulle (img), imgi.e. img.

Nous effectuerons donc des tests sous l'hypothèse nulle : «imget imgégales ».

Le test de localisation tire son nom du fait qu'il s'agit de déterminer si les médianes des deux lois sont « localisées » au même point. Pour ce faire, nous testerons si, après la réunion des échantillonsimget img, la médiane de la loiimga été translatée ou non.

Ceci peut être résumé au fait de tester uniquement le paramètreimgainsi, le test d'hypothèse devientimgcontre img.

Bien les tests se basent alors sur le paramètreimg, le domaine de statistique reste non paramétrique, car les loisimget imgsont supposées inconnues.

 

 

 

Test de la médiane

Le principe de ce test est de déterminer la médiane empirique de la réunion des deux échantillons, et de compter le nombreimgde termes du second échantillon supérieurs à cette médiane.

 

Statistique du test de la médiane :

Soientimgles rangs deimgdans img;

img.

Sousimg, imgdonc img: doncimgest un échantillon de loiimg; la loi deimgen est donc indépendante (voir théorème), etimgsuit ainsi une loi indépendante deimg.


Théorème : au niveauimg,

  1. Casimg: img;

      imgquantile d'ordreimgde img;

  2. Casimg: img;

      imgquantile d'ordreimgde img;

  3. Casimg: i;

      imgquantile d'ordreimgde img, imgquantile d'ordreimgde img.


Théorème :

Sousimg, imgloi hypergéométrique, de paramètres dépendant deimg:

  • img:img

  • img:img

i.e :img.

 

Corollaire : sousimg,

img

img

 

Corollaire : sousimg, imgcentrée réduite converge en loi vers la loi gaussienne.

Plus exactement : siimg, img, img;

alorsimgen loi.

img

Dans la pratique, on observe que la convergence s'applique même pourimg, siimget imgsont assez grands (la loi hypergéométrique converge vers une loi binomiale, qui elle même converge vers une loi normale).