Tests de rangs - Travail d'Etude et de Recherche
Tests de Mann-Whitney et Wilcoxon
Toujours dans le cadre du modèle de localisation, on trouve deux dérivées de l'idée du test de la médiane :
-
Le test de Wilcoxon additionne les rangs des
dans la réunion des échantillons;
- Le
test de Mann-Whitney compte le nombre de couples pour lesquels
.
Ces nombres sont définis ainsi
-
Statistique du test de Wilcoxon :
; c'est la somme des rangs des termes
dans la réunion de
et
.
Pour
une valeur degrande,
-
Statistique du test de Mann-Whitney :
; c'est le nombre de termes
supérieurs à la médiane de
.
Pour
une valeur degrande,
Une relation entre les deux statistiques apparaît :
Théorème
:
Théorème
: test decontre
au
niveau
:
1)
Cas:
;
2)
Cas:
;
3)
Cas:
;
,
Il
est possible de déterminer les,
car la statistique
suit
une loi indépendante de F.
Elle
se déduit de la loi de,
que l'on peut déterminer facilement par récurrence.
Théorème
: loi de:
soit,
;
alors
: .
Corollaire
: sous,
Corollaire
: Si,
,
,
alors :
et
en
loi.
Exemple des forêts avec le test de Mann-Whitney et Wilcoxon
Dans deux types de forêts distincts, nous mesurons les hauteurs respectivement de 13 et 14 peuplements, choisis au hasard et indépendamment, dans le but de vérifier si les hauteurs médianes des deux types de forêts sont ou ne sont pas égales.
Le
niveau du test est fixé à.
Voici les hauteurs des deux peuplements en mètres:
Forêt 1 |
23 .4 |
24.4 |
24.6 |
24.9 |
25 |
26.2 |
26.3 |
26.8 |
26.8 |
26.9 |
27 |
27.6 |
27.7 |
|
Forêt 2 |
22.5 |
22.9 |
23.7 |
24 |
24.4 |
24.5 |
25.3 |
26 |
26.2 |
26.4 |
26.7 |
26.9 |
27.4 |
28.5 |
La statistique de Mann-Whitney nous donne U = 71.5. Nous comparons à la valeur renvoyée par la fonction quantile de R pour une probabilité de 97.5%. Nous obtenons q = 131.
Probabilité ( U > q) = 0.
Nous concluons donc à l'hypothèseau
seuil
: "Les forêts ont une hauteur médiane identique ".