Tests de rangs - Travail d'Etude et de Recherche
21 / 11 / 2024
Mention légale
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Tests de Mann-Whitney et Wilcoxon

Toujours dans le cadre du modèle de localisation, on trouve deux dérivées de l'idée du test de la médiane :

  • Le test de Wilcoxon additionne les rangs desidans la réunion des échantillons;

  • Le test de Mann-Whitney compte le nombre de couples pour lesquelsi.

Ces nombres sont définis ainsi

  • Statistique du test de Wilcoxon :i; c'est la somme des rangs des termesidans la réunion deiet i.

Pour une valeur deigrande, i

  • Statistique du test de Mann-Whitney :i; c'est le nombre de termesisupérieurs à la médiane dei.

Pour une valeur deigrande, i

 

Une relation entre les deux statistiques apparaît :

Théorème :i

 

Théorème : test deicontre iau niveaui:

1) Casi: i; i

2) Casi: i; i

3) Casi: i;i, i

 

Il est possible de déterminer lesi, car la statistiqueisuit une loi indépendante de F.

Elle se déduit de la loi dei, que l'on peut déterminer facilement par récurrence.

 

Théorème : loi dei:

soiti, i;

alors : i.

 

Corollaire : sousi,

i

 

Corollaire : Sii, i, i, alors :

iet ien loi.

i

 

 

Exemple des forêts avec le test de Mann-Whitney et Wilcoxon

forêts

Dans deux types de forêts distincts, nous mesurons les hauteurs respectivement de 13 et 14 peuplements, choisis au hasard et indépendamment, dans le but de vérifier si les hauteurs médianes des deux types de forêts sont ou ne sont pas égales.

Le niveau du test est fixé ài.

Voici les hauteurs des deux peuplements en mètres:

Forêt 1
23 .4
24.4
24.6
24.9
25
26.2
26.3
26.8
26.8
26.9
27
27.6
27.7
Forêt 2
22.5
22.9
23.7
24
24.4
24.5
25.3
26
26.2
26.4
26.7
26.9
27.4
28.5

La statistique de Mann-Whitney nous donne U = 71.5. Nous comparons à la valeur renvoyée par la fonction quantile de R pour une probabilité de 97.5%. Nous obtenons q = 131.

Probabilité ( U > q) = 0.

Nous concluons donc à l'hypothèseiau seuili: "Les forêts ont une hauteur médiane identique ".